Numeros que multiplicados den 30 y sumados o restados den -11

Numeros que multiplicados den 30 y sumados o restados den -11

The Correct answer and Explanation is:

Para encontrar dos números que multiplicados den 30 y que, al sumarlos o restarlos, den -11, vamos a plantear el problema de la siguiente manera:

1. Definición de las variables: Sea xxx y yyy los dos números que buscamos.
2. Planteamiento de las ecuaciones:
   • La primera ecuación corresponde al producto:
     x⋅y=30x \cdot y = 30x⋅y=30
   • La segunda ecuación corresponde a la suma o resta, y en este caso consideraremos la suma para obtener -11: x+y=−11x + y = -11x+y=−11
3. Resolviendo las ecuaciones: A partir de la segunda ecuación, podemos despejar yyy: y=−11−xy = -11 – xy=−11−x Ahora sustituimos yyy en la primera ecuación: x⋅(−11−x)=30x \cdot (-11 – x) = 30x⋅(−11−x)=30 Esto se simplifica a: −11x−x2=30-11x – x^2 = 30−11x−x2=30 Reordenando la ecuación, obtenemos: x2+11x+30=0x^2 + 11x + 30 = 0x2+11x+30=0
4. Factorización: Buscamos factores de 30 que sumen 11. Los números que cumplen con esto son 5 y 6, pero como deben ser negativos para que su suma sea -11, podemos expresar la ecuación factorizada como: (x+5)(x+6)=0(x + 5)(x + 6) = 0(x+5)(x+6)=0
5. Soluciones: De esta factorización, encontramos las raíces: x+5=0⇒x=−5x + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -5x+5=0⇒x=−5 x+6=0⇒x=−6x + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -6x+6=0⇒x=−6

Por lo tanto, los dos números que buscamos son -5 y -6. Verificamos que:

• Al multiplicarlos: −5⋅−6=30-5 \cdot -6 = 30−5⋅−6=30
• Al sumarlos: −5+(−6)=−11-5 + (-6) = -11−5+(−6)=−11

Conclusión: Los números que multiplicados dan 30 y sumados dan -11 son -5 y -6. Esta solución se obtiene a través del análisis algebraico, utilizando el método de factorización, que nos permite hallar números que satisfacen las condiciones planteadas en el problema.